Question

【题目】如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，给出以下命题：

①异面直线C1P与B1C所成的角为定值；

②二面角P－BC1－D的大小为定值；

③三棱锥D－BPC1的体积为定值；

④异面直线A1P与BC1间的距离为定值．

其中真命题的个数为________．

Answer 1

【答案】4

【解析】对于①，因为在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，

在正方体中有B1C⊥平面ABC1D1，而C1P平面ABC1D1，所以B1C⊥C1P，

所以这两个异面直线所成的角为定值90°，故①正确；

对于②，因为二面角P－BC1－D为平面ABC1D1与平面BDC1所成的二面角，

而这两个平面为固定不变的平面，

所以夹角也为定值，故②正确；

对于③，三棱锥D－BPC1的体积还等于三棱锥P－DBC1的体积，

而△DBC1面积一定，

又因为P∈AD1，而AD1∥平面BDC1，

所以点A到平面BDC1的距离即为点P到该平面的距离，

所以三棱锥的体积为定值，故③正确；

对于④，因为直线A1P和BC1分别位于平面ADD1A1，

平面BCC1B1中，且这两个平面平行，

由异面直线间的距离定义及求法，

知这两个平面间的距离即为所求的异面直线间的距离，

所以这两个异面直线间的距离为定值，故④正确．

综上知，真命题的个数为4.