Question

【题目】如图，边长为4的正方形ABCD所在平面与正三角形PAD所在平面互相垂直，M，Q分别为PC，AD的中点．
（1）求证：PA∥平面MBD；
（2）求二面角P﹣BD﹣A的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接AC、BD交于点O，连接OM．

则AO=OC，又PM=MC，

∴PA∥OM．

∵PA平面BMD，OM平面BMD，

∴PA∥平面BMD

（2）证明：解：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，过A作平面ABCD的垂线为z轴，

建立空间直角坐标系，

则P（0，2，2 ），B（4，0，0），D（0，4，0），

=（﹣4，2，2 ）， =（﹣4，4，0），

设平面BPD的法向量 =（x，y，z），

则 ，

取x=1，得 =（1，1， ），

平面ABD的法向量 =（0，0，1），

设二面角P﹣BD﹣A的平面角为θ，

则cosθ= = = ．

∴二面角P﹣BD﹣A的余弦值为

【解析】（1）连接AC、BD交于点O，连接OM，推导出PA∥OM，由此能证明PA∥平面BMD．（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，过A作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角P﹣BD﹣A的余弦值．
【考点精析】通过灵活运用直线与平面平行的判定，掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行即可以解答此题．