Question

【题目】已知椭圆的左右焦点分别为，，离心率是，P为椭圆上的动点.当取最大值时，的面积是

（1）求椭圆的方程：

（2）若动直线l与椭圆E交于A，B两点，且恒有，是否存在一个以原点O为圆心的定圆C，使得动直线l始终与定圆C相切？若存在，求圆C的方程，若不存在，请说明理由

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，

【解析】

（1）根据余弦定理和基本不等式确定点P为椭圆短轴端点时，取最大值，再根据三角形面积及，求得，，，即可得到答案；

（2）对直线的斜率分存在和不存在两种情况讨论，当直线斜率存在时，设直线的方程为，，，利用向量数量积的坐标运算及韦达定理可得，即可得到答案；

（1）依题意可得，

设，由余弦定理可知：，

所以，

当且仅当（即P为椭圆短轴端点）时等号成立，且取最大值；

此时的面积是，

同时，联立和

解得，，，

所以椭圆方程为.

（2）当直线l斜率不存在时，直线l的方程为，

所以，，此时，

当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，

原点O到直线1的距离为d，所以，

整理得，

由，可得，

，

，

， ，恒成立，

即恒成立 ，

所以，所以，

所以定圆C的方程是

所以当时 ， 存在定圆C始终与直线l相切 ，

其方程是.