Question

19．已知双曲线$c：\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}（a＞0，b＞0）$的渐近线方程为$y=±\frac{3}{4}x$，且其焦点为（0，5），则双曲线C的方程（　　）

• A． $\frac{{y}^{2}}{9}$-$\frac{{x}^{2}}{16}$=1
• B． $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$
• C． $\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{4}=1$
• D． $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{3}=1$

Answer 1

分析 求得双曲线的渐近线方程y=±$\frac{a}{b}$x，由题意可得4a=3b，设a=3t，b=4t，（t＞0），求得c，解方程可得t=1，即可得到a，b的值，可得双曲线的方程．

解答 解：双曲线$c：\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}（a＞0，b＞0）$的渐近线方程为y=±$\frac{a}{b}$x，
由渐近线方程为$y=±\frac{3}{4}x$，可得$\frac{a}{b}$=$\frac{3}{4}$，
设a=3t，b=4t，（t＞0），则c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=5t，
由其焦点为（0，5），可得c=5=5t，
可得t=1，a=3，b=4，
则双曲线的方程为$\frac{{y}^{2}}{9}$-$\frac{{x}^{2}}{16}$=1．
故选：A．

点评 本题考查双曲线的方程的求法，注意运用双曲线的性质：渐近线方程和基本量a，b，c的关系，考查运算能力，属于基础题．