Question

【题目】如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形．平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5． （Ⅰ）求证：AA1⊥平面ABC；
（Ⅱ）求证二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值；
（Ⅲ）证明：在线段BC1上存在点D，使得AD⊥A1B，并求 的值．

Answer 1

【答案】证明：（I）∵AA1C1C是正方形，∴AA1⊥AC． 又∵平面ABC⊥平面AA1C1C，平面ABC∩平面AA1C1C=AC，
∴AA1⊥平面ABC．
（II）解：由AC=4，BC=5，AB=3．
∴AC2+AB2=BC2 ， ∴AB⊥AC．
建立如图所示的空间直角坐标系，则A1（0，0，4），B（0，3，0），B1（0，3，4），C1（4，0，4），
∴ ， ， ．
设平面A1BC1的法向量为 ，平面B1BC1的法向量为 =（x2 ， y2 ， z2）．
则 ，令y1=4，解得x1=0，z1=3，∴ ．
，令x2=3，解得y2=4，z2=0，∴ ．
= = = ．
∴二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值为 ．
（III）设点D的竖坐标为t，（0＜t＜4），在平面BCC1B1中作DE⊥BC于E，可得D ，
∴ = ， =（0，3，﹣4），
∵ ，∴ ，
∴ ，解得t= ．
∴ ．

【解析】（I）利用AA1C1C是正方形，可得AA1⊥AC，再利用面面垂直的性质即可证明；（II）利用勾股定理的逆定理可得AB⊥AC．通过建立空间直角坐标系，利用两个平面的法向量的夹角即可得到二面角；（III）设点D的竖坐标为t，（0＜t＜4），在平面BCC1B1中作DE⊥BC于E，可得D ，利用向量垂直于数量积得关系即可得出．