Question

已知函数F（x）=|3x-1|+ax
（Ⅰ）当a=3时，解关于x的不等式f（x）≥|x-3|；
（Ⅱ）若f（x）≥x-

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2

在R上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法,函数恒成立问题

专题：不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）当a=3时，关于x的不等式即|3x-1|-|x-3|+3x≥0，转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．
（Ⅱ）由题意可得函数h（x）=|3x-1|+

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2

的图象应该在直线y=（1-a）x的上方或重合，可得0≤1-a≤1，或-2≤1-a＜0，由此求得a的范围．

解答： 解：（Ⅰ）当a=3时，关于x的不等式f（x）≥|x-3|即|3x-1|+3x≥|x-3|，
即|3x-1|-|x-3|+3x≥0．
∴

x≥3 3x-1-(x-3)+3x≥0

①，或

1 3 ≤x＜3 3x-1-(3-x)+3x≥0

②，或 

x＜ 1 3 1-3x-3+x+3x≥0

．
解①求得x≥3，解②求得

4

7

≤x＜3，解③求得x∈∅．
综上可得，不等式的解集为[

4

7

，+∞）．
（Ⅱ）若f（x）≥x-

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在R上恒成立，即|3x-1|+ax≥x-

1

2

在R上恒成立，
即|3x-1|+

1

2

≥（1-a）x．
故函数h（x）=|3x-1|+

1

2

的图象应该在直线y=（1-a）x的上方或重合．
如图所示：

∴0≤1-a≤3，或-3≤1-a＜0，解得-2≤a≤1，或 1＜a≤4，
即a的范围是[-2，4]

点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，很熟的恒成立问题，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．