Question

4．是否存在常数a，使得函数y=x+$\frac{a}{x}$在区间（0，2]上是减函数，且在区间（2，+∞）上是增函数？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 可考虑用函数单调性的定义进行求解：可设x₁＜x₂，求出${y}_{1}-{y}_{2}=（{x}_{1}-{x}_{2}）（1-\frac{a}{{x}_{1}{x}_{2}}）$，当函数为减函数时，需满足$1-\frac{a}{{x}_{1}{x}_{2}}≤0$，位增函数时，需$1-\frac{a}{{x}_{1}{x}_{2}}≥0$，这样根据x₁，x₂的范围求出a的范围，求出a的范围则存在，否则不存在．

解答 解：可以看出a≤0时，函数y=x+$\frac{a}{x}$在（0，+∞）为增函数，不合题意；
∴a＞0；
设x₁＜x₂，则${y}_{1}-{y}_{2}={x}_{1}+\frac{a}{{x}_{1}}-{x}_{2}-\frac{a}{{x}_{2}}$=$（{x}_{1}-{x}_{2}）（1-\frac{a}{{x}_{1}{x}_{2}}）$；
x₁-x₂＜0；
①若原函数在（0，2]上是减函数，则：
$\left\{\begin{array}{l}{0＜{x}_{1}≤2}\\{0＜{x}_{2}≤2}\end{array}\right.$；
∴$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}≥\frac{1}{4}$，$\frac{a}{{x}_{1}{x}_{2}}≥\frac{a}{4}$；
∴$\frac{a}{4}≥1$；
∴a≥4；
②若原函数在（2，+∞）上是增函数，则：
$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}＞2}\\{{x}_{2}＞2}\end{array}\right.$；
∴$\frac{a}{{x}_{1}{x}_{2}}＜\frac{a}{4}$≤1；
∴a≤4；
∴a=4；
即存在常数a=4，使得函数y=x+$\frac{a}{x}$在（0，2]上是减函数，且在（2，+∞）上是增函数．

点评 考查增函数、减函数的定义，以及根据函数的单调性及单调性定义求出函数中参数的方法，不等式的性质的运用．