Question

给定两个命题，P：对任意实数x都有x²+ax+4＞0恒成立；Q：函数f（x）=x²-2ax+3在区间（1，+∞）上单调递增．如果P∨Q为真命题，P∧Q为假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：先求出组成复合命题的简单命题的为真时，a的取值范围，由复合命题真值表知，若“p且q”为假，“p或q”为真，则命题p、q一真一假，
分别求出当p真q假时和当q真p假时a的取值范围，再求并集可得答案．

解答：解：由对任意实数x都有x²+ax+4＞0恒成立，得△=a²-16＜0⇒-4＜a＜4；
∴命题P为真命题时，-4＜a＜4；
由函数f（x）=x²-2ax+3在区间（1，+∞）上单调递增，得a≤1，
∴命题Q为真命题时，a≤1，
由复合命题真值表知，如果P∨Q为真命题，P∧Q为假命题，则命题P、Q一真一假，
如果P真Q假，则有

-4＜a＜4 a＞1

⇒1＜a＜4；             
如果Q真P假，则有

a≤-4或a≥4 a≤1

⇒a≤-4；             
综上实数a的取值范围为（-∞，-4]∪（1，4）．

点评：本题考查了复合命题的真假判断，考查了一元二次不等式的恒成立问题及一元二次函数的单调区间，解题的关键是求得组成复合命题的简单命题为真时a的取值范围．