Question

7．已知函数f（x）=lnx-$\frac{1}{2}$ax²-2x．
（Ⅰ）若函数f（x）在定义域内单调递增，求a的取值范围；
（Ⅱ）若a=-$\frac{1}{2}$且关于x的方程f（x）=-$\frac{1}{2}$x+b在（1，4）上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，问题转化为a≤$\frac{1-2x}{{2x}^{2}}$在（0，+∞）恒成立，设m（x）=$\frac{1-2x}{{2x}^{2}}$，（x＞0），根据函数的单调性求出a的范围即可；
（II）关于x的方程f（x）=-$\frac{1}{2}$x+b可化为：$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x+lnx-b=0，设方程的左边为g（x），利用导数讨论g（x）的单调性，得到它在[1，4]上先减再增，并且得到g（2）是极小值，g（1）和g（4）是极大值，由此建立不等式组并解之，可得实数b的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=lnx-$\frac{1}{2}$ax²-2x，定义域是（0，+∞），
f′（x）=$\frac{1}{x}$-2ax-2=$\frac{-2{ax}^{2}-2x+1}{x}$，
若函数f（x）在定义域内单调递增，
则-2ax²-2x+1≥0在（0，+∞）恒成立，
即a≤$\frac{1-2x}{{2x}^{2}}$在（0，+∞）恒成立，
设m（x）=$\frac{1-2x}{{2x}^{2}}$，（x＞0），
则m′（x）=$\frac{x-1}{{x}^{3}}$，（x＞0），
令m′（x）＞0，解得：x＞1，令m′（x）＜0，解得：0＜m＜1，
故m（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，
故m（x）的最小值是m（1）=-$\frac{1}{2}$，
故a≤-$\frac{1}{2}$．
（II）a=-$\frac{1}{2}$时，f（x）=-$\frac{1}{2}$x+b即$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x+lnx-b=0
设g（x）=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x+lnx-b，则g'（x）=$\frac{（x-2）（x-1）}{2x}$，
∴当x∈（0，1）时，g'（x）＞0；当x∈（1，2）时，g'（x）＜0；当x∈（2，4）时，g'（x）＞0．
得函数g（x）在（0，1）和（2，4）上是增函数．在（1，2）上是减函数
∴g（x）的极小值为g（2）=ln2-b-2；g（x）的极大值为g（1）=-b-$\frac{5}{4}$，且g（4）=-b-2+2ln2；
∵方程g（x）=0在[1，4]上恰有两个不相等的实数根．
∴$\left\{\begin{array}{l}{g（1）≥0}\\{g（2）＜0}\\{g（4）≥0}\end{array}\right.$，解之得：ln2-2＜b≤-$\frac{5}{4}$．

点评 本题主要考查函数与导数，以及函数与方程思想，体现了导数值为一种研究函数的工具，能完成单调性的判定和最值的求解方程，同时能结合常用数学思想，来考查同学们灵活运用知识解决问题的能力．