Question

9．已知定义在R上的函数g（x）=2^x+2^-x+|x|，则满足g（2x-1）＜g（3）的x的取值范围是（-1，2）．

Answer 1

分析 判断函数的奇偶性和单调性，利用函数奇偶性和单调性的关系进行转化求解即可．

解答 解：∵g（x）=2^x+2^-x+|x|，
∴g（-x）=2^x+2^-x+|-x|=2^x+2^-x+|x|=g（x），
则函数g（x）为偶函数，
当x≥0时，g（x）=2^x+2^-x+x，
则g′（x）=ln2（2^x-2^-x）+1，
则当x≥0时，g′（x）＞0，则函数g（x）在[0，+∞）上为增函数，
则不等式g（2x-1）＜g（3）等价为g（|2x-1|）＜g（3），
即|2x-1|＜3，
即-3＜2x-1＜3，
解得-1＜x＜2，
即x的取值范围是（-1，2），
故答案为：（-1，2）．

点评 本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化是解决本题的关键．