【题目】已知函数.
(1)当时,求函数在上的最大值;
(2)令,若在区间上为单调递增函数,求的取值范围;
(3)当时,函数的图象与轴交于两点且,又是的导函数.若正常数满足条件.证明:<0.
【答案】(1)(2)(3),理由见解析
【解析】试题分析:(1),可知在[,1]是增函数,在[1,2]是减函数,所以最大值为f(1).(2)在区间上为单调递增函数,即在上恒成立。,利用分离参数在上恒成立,即求的最大值。
(3)有两个实根, ,两式相减,又,
.要证:,只需证:,令可证。
试题解析:(1)
函数,1]是增函数,在[1,2]是减函数,
所以.
(2)因为,所以,
因为在区间单调递增函数,所以在(0,3)恒成立
,有=,()
综上:
(3)∵,又有两个实根,
∴,两式相减,得,
∴,
于是
.
要证:,只需证:
只需证:.(*)
令,∴(*)化为 ,只证即可.
在(0,1)上单调递增,,
即.∴.
(其他解法根据情况酌情给分)
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【题目】某单位将举办庆典活动,要在广场上竖立一形状为等腰梯形的彩门(如图).设计要求彩门的面积为(单位:),高为(单位:)(为常数).彩门的下底固定在广场底面上,上底和两腰由不锈钢支架构成,设腰和下底的夹角为,不锈钢支架的长度和记为.
(1)请将表示成关于的函数;
(2)问当为何值最小,并求最小值.
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【题目】为创建全国文明城市,某区向各事业行政单位征集“文明过马路”义务督导员.从符合条件的600名志愿者中随机抽取100名,按年龄作分组如下:[20,25) , [25,30) , [30,35), [35,40) , [40,45] ,并得到如下频率分布直方图.
(Ⅰ)求图中 的值,并根据频率分布直方图统计这600名志愿者中年龄在[30.40)的人数;
(Ⅱ)在抽取的100名志愿者中按年龄分层抽取10名参加区电视台“文明伴你行”节目录制,再从这10名志愿者中随机选取3名到现场分享劝导制止行人闯红灯的经历,记这3名志愿者中年龄不低于35岁的人数为 ,求的分布列及数学期望.
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【题目】已知直角梯形中,是边长为2的等边三角形,.沿将折起,使至处,且;然后再将沿折起,使至处,且面面,和在面的同侧.
(Ⅰ) 求证:平面;
(Ⅱ) 求平面与平面所构成的锐二面角的余弦值.
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【题目】已知函数 的图象过点。
(1)求的值并求函数的值域;
(2)若关于的方程有实根,求实数的取值范围;
(3)若函数, ,则是否存在实数,使得函数的最大值为0?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由。
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【题目】有 名男生, 名女生,在下列不同条件下,求不同的排列方法种数.(最后结果化成数
字)
(1)排成前后两排,前排 人,后排 人;
(2)全体排成一排,甲不站在排头也不站在排尾;
(3)全体排成一排,女生必须站在一起;
(4)全体排成一排,男生不能相邻.
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【题目】已知函数
(1)设,当时,求函数的定义域,判断并证明函数的奇偶性;
(2)是否存在实数,使得函数在递减,并且最小值为1,若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
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