Question

2．已知曲线C的极坐标方程为2ρsinθ+ρcosθ=10，将曲线C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α为参数）经过伸缩变换$\left\{\begin{array}{l}{x′=3x}\\{y′=2y}\end{array}\right.$后得到曲线C₂．
（1）求曲线C₂的参数方程；
（2）若点M在曲线C₂上运动，试求出M到曲线C的距离的最小值．

Answer 1

分析 （1）将曲线C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α为参数），化为x²+y²=1，由伸缩变换$\left\{\begin{array}{l}{x′=3x}\\{y′=2y}\end{array}\right.$化为$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{3}{x}^{′}}\\{y=\frac{1}{2}{y}^{′}}\end{array}\right.$，代入圆的方程得到曲线C₂，即可参数方程．
（2）曲线C的极坐标方程为2ρsinθ+ρcosθ=10，化为直角坐标方程：2y+x-10=0．可得点M到曲线C的距离d=$\frac{|3cosθ+4sinθ-10|}{\sqrt{5}}$=$\frac{|5sin（θ-φ）-10|}{\sqrt{5}}$，即可得出．

解答 解：（1）将曲线C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α为参数），化为x²+y²=1，由伸缩变换$\left\{\begin{array}{l}{x′=3x}\\{y′=2y}\end{array}\right.$化为$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{3}{x}^{′}}\\{y=\frac{1}{2}{y}^{′}}\end{array}\right.$，代入圆的方程可得：$（\frac{1}{3}{x}^{′}）^{2}+（\frac{1}{2}{y}^{′}）^{2}$=1，
得到曲线C₂：$\frac{（{x}^{′}）^{2}}{9}+\frac{（{y}^{′}）^{2}}{4}=1$，可得参数方程：$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{′}=3cosθ}\\{{y}^{′}=2sinθ}\end{array}\right.$．
（2）曲线C的极坐标方程为2ρsinθ+ρcosθ=10，化为直角坐标方程：2y+x-10=0．
∴点M到曲线C的距离d=$\frac{|3cosθ+4sinθ-10|}{\sqrt{5}}$=$\frac{|5sin（θ-φ）-10|}{\sqrt{5}}$≥$\frac{5}{\sqrt{5}}$=$\sqrt{5}$，
∴M到曲线C的距离的最小值为$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了椭圆的参数方程、点到直线的距离公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．