Question

19．如所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，使点M，N分别在AB，AD的延长线上，且对角线MN过点C，已知AB=2米，AD=3米．
（Ⅰ）若要使矩形AMPN的面积不大于32平方米，则DN的长应在什么范围内？
（Ⅱ）当DN的长为多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设DN的长为x（x＞0）米，则AN=（x+3）米，表示出矩形的面积，利用矩形AMPN的面积不大于32平方米，即可求得DN的取值范围．
（Ⅱ）化简矩形的面积，利用基本不等式，即可求得结论．

解答 解：（Ⅰ）设DN的长为x（x＞0）米，则AN=（x+3）米
∵$\frac{DN}{AN}=\frac{DC}{AM}$，∴AM=$\frac{2（x+3）}{x}$，
∴矩形AMPN的面积S=AN•AM=$\frac{2（x+3）^{2}}{x}$
∵矩形AMPN的面积不大于32平方米，
∴$\frac{2（x+3）^{2}}{x}$≤32
又x＞0得x²-10x+9≤0
解得：1≤x≤9，即DN的长取值范围是[1，9]；
（Ⅱ）矩形花坛的面积为S=AN•AM=$\frac{2（x+3）^{2}}{x}$=2x+$\frac{18}{x}$+12≥2$\sqrt{2x•\frac{18}{x}}$+12=24
当且仅当2x=$\frac{18}{x}$，即x=3时，矩形花坛的面积最小为24平方米．

点评 本题考查根据题设关系列出函数关系式，并求出处变量的取值范围；考查利用基本不等式求最值，解题的关键是确定矩形的面积．