Question

已知命题p：x∈R，f（x）=x²-2x+4＞m恒成立；q：f（x）=log_5m-2x上的单调增函数．若p或q为真，p且q为假，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：简易逻辑

分析：先将命题p，q化简，然后由p或q为真，p且q为假，则命题p，q一真一假，分情况讨论即可．

解答： 解：命题p：x∈R，f（x）=x²-2x+4＞m恒成立；则x∈R时，f（x）=x²-2x+4=（x-1）²+3≥3，若命题p成立，则m＜3，
命题q：f（x）=log_5m-2x上的单调增函数．则5m-2＞1，解得m＞

3

5

．
由条件p或q为真，p且q为假，则命题p，q一真一假，
①若p真q假，则m＜3且m≤

3

5

，则m≤

3

5

，又5m-2为指数函数底数，5m-2＞0，且5m-2≠1即m＞

2

5

且m≠

3

5

，则此时m的取值范围是

2

5

＜m＜

3

5

，
②若p假q真，则m≥3且m＞

3

5

，则m≥3，
综上，m的取值范围是（

2

5

，

3

5

）∪[3，+∞）

点评：易错点容易忽略m为指数函数底数的要求．