Question

17．已知函数y=f（x）（x≠0）是奇函数，且当x∈（0，+∞）时是增函数，若f（-1）=0，$f（a-\frac{1}{2}）＜0$，
（1）求f（1）的值；
（2）求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用奇函数的定义，求f（1）的值；
（2）利用函数单调性的定义，得出具体不等式，即可求实数a的取值范围．

解答 解：（1）因为函数y=f（x）（x≠0）是奇函数，∴f（-1）=-f（1）=0即f（1）=0；
（2）∵当x∈（0，+∞）时f（x）是增函数，
∴$f（a-\frac{1}{2}）＜0$可化为$\left\{{\begin{array}{l}{a-\frac{1}{2}＞0}\\{f（a-\frac{1}{2}）＜f（1）}\end{array}}\right.$或$\left\{{\begin{array}{l}{a-\frac{1}{2}＜0}\\{f（a-\frac{1}{2}）＜f（-1）}\end{array}}\right.$，
即$0＜a-\frac{1}{2}＜1$或$a-\frac{1}{2}＜-1$，
解得$\frac{1}{2}＜a＜\frac{3}{2}$或$a＜-\frac{1}{2}$．

点评 本题考查奇函数的定义，考查函数单调性的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．