Question

已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，焦距为4，离心率为

2

3

．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设椭圆在y轴的正半轴上的焦点为M，又点A和B在椭圆上，且M分有向线段

.

AB

所成的比为2，求线段AB所在直线的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设椭圆方程，由焦距为4，离心率为

2

3

，结合b²=a²-c²，即可求得椭圆方程；
（Ⅱ）先考虑A点在B点的左方，利用M分有向线段

AB

所成的比为2，结合椭圆的定义，即可求得A，B的坐标，从而可得直线AB的斜率，进而可得AB的方程；点在B的右方时根据对称性，可得所求直线AB的方程．

解答：解：（Ⅰ）设椭圆方程为

x2

b2

+

y2

a2

=1（b＞a＞0）（1分） 
由焦距为4，可得2c=4，∴c=2，
又

c

a

=

2

3

，故a=3（2分）
∴b²=a²-c²=5，
∴所求椭圆方程为

x2

5

+

y2

9

=1（3分）
（Ⅱ）M坐标为（0，2），设A点在B点的左方，且A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

AM

MB

=2，故有2=

y1+2y2

1+2

（5分）即y₁+2y₂=6，
又M相应的准线方程是y=

a2

c

=

9

2

，A到准线距离d1=

9

2

-y1，B到准线距离d2=

9

2

-y2（6分），
∵

|AM|

d1

=e=

2

3

，

|BM|

d2

=

2

3

（7分）
∴|AM|=

2

3

(

9

2

-y1)， |BM|=

2

3

(

9

2

-y2)，
∴

|AM|

|BM|

=

3- 2 3 y1

3- 2 3 y2

=2得4y₂-2y₁=9②
②与①联立解得y1=

3

4

，代入椭圆方程得x1=

5 3

4

，
∴直线AB的斜率k=

3 4 -2

5 3 4 -0

=

3

3

（9分），
∴AB的方程为y=

3

3

x+2（10分），
如果点在B的右方时根据对称性，则所求直线AB的方程为y=-

3

3

x+2．（12分）

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的定义，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，确定A，B的坐标是关键．