Question

3．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，AD=PD=2$\sqrt{3}$，PB=AB=6，点P在底面的正投影在DC上．
（I）证明：BD⊥PA；
（Ⅱ）求直线AP与平面PBC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AP中点O，连结DO、BO，推导出PA⊥平面BDO，由此能证明BD⊥PA．
（Ⅱ）过P作PE⊥平面ABCD，交DC于E，以E为原点，过E作DA的平行线为x轴，EC为y轴，EP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AP与平面PBC所成角的正弦值．

解答 证明：（Ⅰ）取AP中点O，连结DO、BO，
∵AD=PD=2$\sqrt{3}$，PB=AB=6，∴DO⊥PA，BO⊥PA，
又DO∩BO=O，∴PA⊥平面BDO，
∵BD?平面BDO，∴BD⊥PA．
解：（Ⅱ）∵底面ABCD为矩形，AD=PD=2$\sqrt{3}$，PB=AB=6，点P在底面的正投影在DC上
∴过P作PE⊥平面ABCD，交DC于E，PC=$\sqrt{D{C}^{2}-P{D}^{2}}$=$\sqrt{36-12}$=2$\sqrt{6}$，
∴PD²+PC²=CD²，∴PD⊥PC，∴PE=$\frac{2\sqrt{3}×2\sqrt{6}}{6}$=2$\sqrt{2}$，DE=$\sqrt{12-8}$=2，CE=6-2=4，
以E为原点，过E作DA的平行线为x轴，EC为y轴，EP为z轴，建立空间直角坐标系，
∴A（2$\sqrt{3}$，-2，0），P（0，0，2$\sqrt{2}$），B（2$\sqrt{3}$，4，0），C（0，4，0），
$\overrightarrow{PA}$=（2$\sqrt{3}$，-2，-2$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{PB}$=（2$\sqrt{3}$，4，-2$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{PC}$=（0，4，-2$\sqrt{2}$），
设面PBC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=2\sqrt{3}x+4y-2\sqrt{2}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=4y-2\sqrt{2}z=0}\end{array}\right.$，取z=$\sqrt{2}$，得$\overrightarrow{n}$=（0，1，$\sqrt{2}$），
设直线AP与平面PBC所成角为α，
则sinα=$\frac{|\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{PA}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|-2-4|}{\sqrt{24}•\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴直线AP与平面PBC所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查异面直线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．