Question

已知函数f（x）=sinωx+cos（ωx+

π

6

），其中x∈R，ω为正常数．
（1）当ω=2时，求f（

π

3

）的值；
（2）记f（x）的最小正周期为T，若f（

π

3

）=1，求T的最大值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）利用两角和公式对函数解析式化简整理得到f（x）的解析式，把ω=2，x=

π

3

代入求得答案．
（2）把x=

π

3

代入函数解析式，然后利用周期公式表示出T，进而求得T的最大值．

解答： 解：（1）f（x）=sinωx+cos（ωx+

π

6

）=sinωx+

3

2

cosωx-

1

2

sinωx=

1

2

sinωx+

3

2

cosωx=sin（ωx+

π

3

），
∴当ω=2时，f（x）=sin（2x+

π

3

），
∴f（

π

3

）=sin（

2π

3

+

π

3

）=sinπ=0．
（2）f（

π

3

）=sin（ω•

π

3

+

π

3

）=1，
∴ω•

π

3

+

π

3

=2kπ+

π

2

，k∈Z
∴ω=6k+

1

2

，k∈Z
∴T=

2π

ω

=

2π

6k+ 1 2

，当k=0时，T有最大值为4π．

点评：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数图象和性质．考查了学生推理和分析问题的能力．