Question

（2007•武汉模拟）已知函数f(x)=2

x

+

4-x

，则函数f（x）的值域为（　　）

Answer 1

分析：先根据x+4-x=4，与x无关，结合三角恒等式：sin²θ+cos²θ=1，观察相似之处，便可利用换元法；设

x

=2sinα，

4-x

=2cosα，再结合辅助角公式以及三角函数的图象即可得到答案．

解答：解：设

x

=2sinα，

4-x

=2cosα，α∈[0，

π

2

]．
则f（x）=4sinα+2cosα=2

5

sin（α+arctan2）．
根据三角函数图象，当α+arctan2=

π

2

时f（x）取得最大值2

5

；
当α=0时f（x）取得最小值2．
∴f（x）的值域为[2，2

5

]．
故选：D．

点评：三角换元是一种十分实用的方法，它很好地体现了数学中一项基本的思想-转化．而且与许多知识都有交叉易错点换元后θ的范围十分重要，要根据具体的题目而定．