Question

已知点是函数f（x）=a^x（a＞0且a≠1）的图象上一点，等比数列a_n的前n项和为f（n）-c，数列b_n（b_n＞0）的首项为c，且前n项和S_n满足：．记数列前n项和为T_n，
（1）求数列a_n和b_n的通项公式；
（2）若对任意正整数n，当m∈[-1，1]时，不等式恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）因为点是函数f（x）=a^x的图象上一点，所以a=，所以f（x）=，即可得到数列的前3项，进而求出数列的首项与公比，即可得到数列{a_n}的通项公式；
因为=，所以数列{}是以1为首项，以1为公差的等差数列，所以得到S_n，利用b_n=S_n-S_n-1求出答案．
（2）利用裂项相消的方法可得：T_n=；进而把原不等式化简为：当m∈[-1，1]时，不等式t²-2mt＞0恒成立；设g（m）=-2tm+t²，m∈[-1，1]，然后利用函数的有界性解决恒成立问题即可得到答案．
解答：解：（1）因为f（1）=a=，所以f（x）=，
所以，a₂=[f（2）-c]-[f（1）-c]=，a₃=[f（3）-c]-[f（2）-c]=
因为数列{a_n}是等比数列，所以，所以c=1．
又公比q=，所以；
由题意可得：=，
又因为b_n＞0，所以；
所以数列{}是以1为首项，以1为公差的等差数列，并且有；
当n≥2时，b_n=S_n-S_n-1=2n-1；
所以b_n=2n-1．
（2）因为数列前n项和为T_n，
所以
=
=；
因为当m∈[-1，1]时，不等式恒成立，
所以只要当m∈[-1，1]时，不等式t²-2mt＞0恒成立即可，
设g（m）=-2tm+t²，m∈[-1，1]，
所以只要一次函数g（m）＞0在m∈[-1，1]上恒成立即可，
所以，
解得t≤-2或t≥2或t=0，
所以实数t的取值范围为（-∞，-2]∪[2，+∞）或者t=0．
点评：本题综合考查数列、不等式与函数的有关知识，解决此类问题的关键是熟练掌握数列求通项公式与求和的方法，以及把不等式恒成立问题转化为函数求最值问题，然后利用函数的有关知识解决问题．