Question

12．已知函数$f（x）=Asin（ωx+φ），（A＞0，ω＞0，|φ|＜\frac{π}{2}）$的最小值为-3，且f（x）图象相邻的最高点与最低点的横坐标之差为2π，又f（x）的图象经过点$（0，\frac{3}{2}）$；
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若方程f（x）-k=0在$x∈[0，\frac{11π}{3}]$有且仅有两个零点x₁，x₂，求k的取值范围，并求出x₁+x₂的值．

Answer 1

分析 （1）由题意求出A和周期T，由周期公式求出ω的值，将点（0，$\frac{3}{2}$）代入化简后，由φ的范围和特殊角的三角函数值求出φ的值，可得函数f（x）的解析式；
（2）将方程的根转化为函数图象交点问题，由x的范围求出$\frac{1}{2}x+\frac{π}{6}$的范围，由正弦函数的性质求出f（x）的值域，设设t=$\frac{1}{2}x+\frac{π}{6}$，函数画出y=3sint，由正弦函数的图象画出y=3sint的图象，由图象和条件求出k的范围，由图和正弦函数的对称性分别求出x₁+x₂的值．

解答 解：（1）由题意得：$A=3，\frac{T}{2}=2π$，
则T=4π，即$ω=\frac{2π}{T}=\frac{1}{2}$，
所以$f（x）=3sin（\frac{1}{2}x+φ）$，
又f（x）的图象经过点$（0，\frac{3}{2}）$，则$\frac{3}{2}=3sinφ$，
由$|φ|＜\frac{π}{2}$得$φ=\frac{π}{6}$，
所以$f（x）=3sin（\frac{1}{2}x+\frac{π}{6}）$；
（2）由题意得，f（x）-k=0在$x∈[0，\frac{11π}{3}]$有且仅有两个解x₁，x₂，
即函数y=f（x）与y=k在$x∈[0，\frac{11π}{3}]$且仅有两个交点，
由$x∈[0，\frac{11π}{3}]$得，$\frac{1}{2}x+\frac{π}{6}∈[\frac{π}{6}，2π]$，
则$f（x）=3sin（\frac{1}{2}x+\frac{π}{6}）∈[-3，3]$，
设t=$\frac{1}{2}x+\frac{π}{6}$，则函数为y=3sint，且$t∈[\frac{π}{6}，2π]$，
画出函数y=3sint在$t∈[\frac{π}{6}，2π]$上的图象，如图所示：
由图可知，k的取值范围为：$k∈（-3，0]∪[\frac{3}{2}，3）$，
当k∈（-3，0]时，由图可知t₁，t₂关于t=$\frac{3π}{2}$对称，
即$x=\frac{8}{3}π$对称，所以${x_1}+{x_2}=\frac{16π}{3}$，
当$k∈[\frac{3}{2}，3）$时，由图可知t₁，t₂关于t=$\frac{π}{2}$对称，
即$x=\frac{2}{3}π$对称，所以${x_1}+{x_2}=\frac{4π}{3}$，
综上可得，x₁+x₂的值是$\frac{16π}{3}$或$\frac{4π}{3}$．

点评 本题考查了形如f（x）=Asin（ωx+φ）的解析式的确定，正弦函数的性质与图象，以及方程根转化为函数图象的交点问题，考查分类讨论思想，数形结合思想，以及化简、变形能力．