Question

△ABC中，若三边a，b，c依次成等比数列，且cosB=

3

4

，cos2A-cos2C=2sinAsinC，
（1）判断△ABC的形状；
（2）若

BA

•

BC

=

3

2

，求a+c的值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,等比数列的性质

专题：计算题,等差数列与等比数列,解三角形,平面向量及应用

分析：（1）运用等比数列的性质和二倍角的余弦公式，及正弦定理即可化简等式为c²-a²=ac=b²，即可判断三角形的形状；
（2）运用向量的数量积的定义和余弦定理，即可得到a，c的方程，解得即可．

解答： 解：（1）三边a，b，c依次成等比数列，则b²=ac，
cos2A-cos2C=2sinAsinC即有（1-2sin²A）-（1-2sin²C）=2sinAsinC，
即有sin²C-sin²A=sinAsinC，
由正弦定理，可得，c²-a²=ac=b²，即a²+b²=c²，
即有△ABC为直角三角形；
（2）若

BA

•

BC

=

3

2

，且cosB=

3

4

则cacosB=

3

4

ac=

3

2

，即有ac=2，
由余弦定理，可得b²=a²+c²-2accosB=a²+c²-3，
又b²=c²-a²，
即有a=

6

2

，c=

2 6

3

，
则a+c=

7 6

6

．

点评：本题考查正弦定理和余弦定理的运用，考查二倍角公式和平面向量的数量积的定义，考查运算能力，属于中档题．