Question

（文）已知点P₁（a₁，b₁），P₂（a₂，b₂），…，P_n（a_n，b_n）（n为正整数）都在函数y=a^x（a＞0，a≠1）的图象上，其中{a_n}是以1为首项，2为公差的等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式，并证明数列{b_n}是等比数列；
（2）设数列{b_n}的前n项的和S_n，求；
（3）设Q_n（a_n，0），当时，问△OP_nQ_n的面积是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）直接利用定义即可求数列{a_n}的通项公式，再代入求出数列{b_n}的通项公式，用定义即可证明数列{b_n}是等比数列；
（2）先直接代入公式求出S_n以及的表达式，再分a的不同取值来求结论即可；
（3）先找到△OP_nQ_n的面积的表达式，设出对应数列，再利用求数列最大项的方法求出△OP_nQ_n的面积的最大值即可．
解答：解：（1）a_n=2n-1，（n∈N^*），，
∴，
∴数列{b_n}是等比数列．
（2）因为{b_n}是等比数列，且公比a²≠1，
∴，．
当0＜a＜1时，；
当a＞1时，．
因此，．
（3），，
设，
当c_n最大时，则，
解得，n∈N^*，∴n=2．
所以n=2时c_n取得最大值，
因此△OP_nQ_n的面积存在最大值．
点评：本题考查等差数列与等比数列的基础知识，数列最大项的求法和数列的极限．知识点较多，属于中档题．