Question

已知函数f（x）=x²-2lnx，
（1）若f（x）+a=0在[0，2]有二解，求a的取值范围•
（2）若在定义域内存在x₀，使不等式f（x₀）-m≤0能成立，求实数m的最小值．

Answer 1

分析：（1）先用导数法求得函数的单调性和极值，刻画其图象，再由用函数思想将方程根的问题转化为两函数f（x）=x²-2lnx，y=-a图象交点的个数问题解决．
（2）在定义域内存在x₀，使不等式f（x₀）-m≤0能成立．则只需使m≥f（x）_最小值．

解答：解：（1）f(x)=x2-2lnx?f，(x)=2x-

2

x

=

2(x-1)(x+1)

x

∵x＞0，
∴f（x）在（0，1）递减，（1，+∞）递增．
∴f（x）_最小值=f（x）_极小值=f（1）=1
∵f（2）=4-2ln2
∴a∈[2ln2-4，-1）
（2）在定义域内存在x₀，使不等式f（x₀）-m≤0能成立．
则只需使m≥f（x）_最小值，
∴m≥1

点评：本题主要考查用导数法求函数的最值及刻画函数图象用数形结合法解决方程根的问题．