Question

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，公差d＞0，若a₂=2，a₅=11．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设bn=

Sn

n+a

(a≠0)，若{b_n}是等差数列且cn=2b2n，求实数a与

lim

n→+∞

c1+c2+…+cn

bn+1

(b∈R)的值．

Answer 1

分析：（1）设等差数列{a_n}的通项为a_n=a₁+（n-1）d，由题得：a₁+d=2，a₁+4d=11，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由Sn=

n(3n-5)

2

，bn=

n(3n-5)

2(n+a)

，{b_n}是等差数列，则

2

2+a

=

-1

1+a

+

6

3+a

，再由cn=2b2n=23n，得到c1+c2+…+cn=

8

7

(8n-1)．由此能求出实数a与

lim

n→+∞

c1+c2+…+cn

bn+1

(b∈R)的值．

解答：解：（1）设等差数列{a_n}的通项为a_n=a₁+（n-1）d，
由题得：a₁+d=2，a₁+4d=11，（2分）
解得：a₁=-1，d=3，a_n=3n-4（4分）
（2）由（1）得：Sn=

n(3n-5)

2

（6分）
∴bn=

n(3n-5)

2(n+a)

则b1=

-1

1+a

，b2=

1

2+a

，b3=

6

3+a

，
∵{b_n}是等差数列，
则

2

2+a

=

-1

1+a

+

6

3+a

∴a=-

5

3

，bn=

3n

2

（8分）
又∵cn=2b2n=23n
∴c1+c2+…+cn=

8

7

(8n-1)（10分）
故

lim

n→+∞

c1+c2+…+cn

bn+1

=

8 7 (8n-1)

bn+1

=

0(|b＜8) 8 7 (b=8) 不存在(|b＜8或b=-8)

（12分）

点评：本题考查数列的极限的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．