Question

【题目】在数列{an}中，若an2﹣an﹣12＝p，（n≥2，n∈N*，p为常数），则称{an}为“等方差数列”，下列是对“等方差数列“的判断：

①若{an}是等方差数列，则{an2}是等差数列；

②{（﹣1）n}是等方差数列；

③若{an}是等方差数列，则{akn}（k∈N*，k为常数）也是等方差数列；

④若{an}既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列．

其中正确命题的个数是（ ）

A.1B.2C.3D.4

Answer 1

【答案】D

【解析】

利用等方差数列的定义与等差数列的定义判断①；利用等方差数列的定义判断②；先表示出{akn}的通项公式，然后利用等方差的定义进行判断③；利用等方差数列和等差数列的定义判断④．

①若数列{an}是等方差数列，则有p（n∈N*，且n≥2），

则数列{}是公差为p的等差数列，故①正确；

②数列{（﹣1）n}中，an2﹣an﹣12＝[（﹣1）n]2﹣[（﹣1）n﹣1]2＝0，（n≥2，n∈N*），

∴数列{（﹣1）n}是等方差数列，故②正确；

③数列{an}中的项列举出来是：a1，a2，…，ak，…，a2k，…

数列{akn}中的项列举出来是：ak，a2k，a3k，…

∵（ak+12﹣ak2）＝（ak+22﹣ak+12）＝…＝a2k2﹣a2k﹣12＝p

∴（ak+12﹣ak2）+（ak+22﹣ak+12）+…+（a2k2﹣a2k﹣12）＝kp

∴ak（n+1）2﹣akn2＝kp，即数列{akn}是等方差数列，故③正确；

④∵数列{an}是等差数列，∴an﹣an﹣1＝d1（n≥2）．

∵数列{an}是等方差数列，∴an2﹣an﹣12＝d2（n≥2），

∴（an+an﹣1）d1＝d2，

∴当d1≠0时，为常数列；

当d1＝0，数列{an}为常数列．

则该数列{an}必为常数列，故④正确．

∴正确命题的个数是4个．

故选：D．

本题考查新定义以及等差数列的定义及其应用，考查逻辑思维能力与推理论证能力，是中档题．