Question

已知函数f(x)=a-

1

2x+1

(x∈R)；
（1）求证：不论a为何实数，f（x）在（-∞，+∞）上均为增函数；
（2）若f（x）为奇函数，求a的值；
（3）在（2）的条件下，求f（x）在区间[1，5]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）利用单调性的定义：任取x₁＜x₂，通过作差证明f（x₁）＜f（x₂）即可；
（2）因为f（x）为R上的奇函数，所以f（0）=0，由此可求a值；
（3）在（2）的条件下得到f（x）表达式，利用f（x）的单调性即可求出在区间[1，5]上的最大值和最小值．

解答：（1）证明：f（x）的定义域为R，任取x₁＜x₂，
则f(x1)-f(x2)=a-

1

2x1+1

-(a-

1

2x2+1

)=

2x1-2x2

(1+2x1)(1+2x2)

∵x₁＜x₂，∴2x1-2x2＜0，(1+2x1)(1+2x2)＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
所以，无论a为何实数，f（x）总为增函数．
（2）解：因为f（x）为R上的奇函数，所以f（0）=0，即a-

1

20+1

=0
解得a=

1

2

．
（3）由（2）知，f(x)=

1

2

-

1

2x+1

(x∈R)，
由（1）知f（x）为区间[1，5]上的增函数，
所以f（x）在[1，5]上的最小值为f(1)=

1

6

，最大值为f（5）=

31

66

．

点评：本题考查函数的奇偶性、单调性及其应用，定义是解决函数奇偶性、单调性的基本方法．