Question

17．给出下列三个命题：
①函数y=tanx在第一象限是增函数
②奇函数的图象一定过原点
③函数y=sin2x+cos2x的最小正周期为π
④函数y=x+$\frac{2}{x}$的最小值为2$\sqrt{2}$
其中 假命题的序号是①②④．

Answer 1

分析 ①根据正切函数的性质进行判断，
②根据奇函数的性质，举反例即可，
③根据三角函数的周期公式进行求解判断，
④根据基本不等式的性质进行判断．

解答 解：①函数y=tanx在第一象限不具备单调性，故①错误，
②奇函数的图象一定过原点，错误，比如函数f（x）=$\frac{1}{x}$是奇函数，但不过原点，故②错误，
③函数y=sin2x+cos2x=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），则函数的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π，故③正确，
④当x＞0时，函数y=x+$\frac{2}{x}$$≥2\sqrt{x•\frac{2}{x}}$=2$\sqrt{2}$，当x＜0时，y=x+$\frac{2}{x}$≤-2$\sqrt{（-x）•\frac{2}{-x}}$=-2$\sqrt{2}$，故④错误，
故假命题是①②④，
故答案为：①②④

点评 本题主要考查命题的真假判断，涉及函数的性质，三角函数的周期性以及基本不等式的应用，涉及的知识点较多，但难度不大．