Question

崇义县环保局决定对阳明湖的四个区域A、B、C、D的水质进行检测，水质分为I、II、III类，每个区域的检测方式如下：分别在同一天的上、下午各进行一次检测，若两次检测中有III类或两次都是II类，则该区域的水质不合格，设各区域的水质相互独立，且每次检测的结果也相互独立，根据多次抽检结果，一个区域一次检测水质为I、II、III三类的频率依次为

2

3

，

1

6

，

1

6

（I）在阳明湖的四个区域中任取一个区域，估计该区域水质合格的概率；
（II）如果对阳明湖的四个区域进行检测，记在上午检测水质为I类的区域数为ξ，并以水质为I 类的频率作为水质为I类的概率，求ξ的分布列及期望值．

Answer 1

分析：（I）水质合格包括两种情况，即两次检测中水质均为I类，区域两次检测中，水质一次为I类，另一次为II类，这两种情况是互斥的，得到概率．
（II）由题意知变量的可能取值是0，1，2，3，4，结合变量对应的事件，写出变量的概率值，列出分布列求出期望值．

解答：解：（I）该区域两次检测中水质均为I类的概率为

2

3

×

2

3

=

4

9

该区域两次检测中，水质一次为I类，另一次为II类的概率为2×

2

3

×

1

6

=

2

9

该区域的水质合格的概率为P=

4

9

+

2

9

=

2

3

（II）由题意可知，ξ的取值为0，1，2，3，4
P（ξ=i）=

C

i n

(

2

3

)i(

1

3

)4-i（i=0，1，2，3，4
随机变量ξ的分布列为

ξ	0	1	2	3	4
P	1 81	8 81	24 81	32 81	16 81

∴Eξ=1×

8

81

+2×

24

81

+3×

32

81

+4×

16

81

=

206

81

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和期望，本题解题的关键是看出题目中的变量符合特殊结构，这样使得运算量减小．