【题目】已知函数,.
(1)当时,解不等式;
(2)若关于的方程在区间上有两个不等的实根,求实数的取值范围.
【答案】(1)当时,解集为;当时,解集为;当时,解集为;(2)
【解析】
(1)把作为整体,分解因式,然后根据和1的大小分类讨论可得,同时注意指数函数性质;
(2)求出,把作为一个整体解得或,有且仅有一根,这样方程在区间上只有一个非零解.设,问题转化为方程在上只有一解,由二次方程根的分布知识可解,注意要分类讨论.
解:(1)
当,即时
式化简为,此时不等式解集为.
当,即
式化简为,此时不等式解集为空集.
当,即时
式化简为,此时不等式解集为
综上:当时,不等式解集为
当时,不等式解集为
当时,不等式解集
(2)在区间上有两个不等的实根
在区间上有两个不等的实根.
方程化简为
即
或
解得
是原方程其中一解
由题意得方程在区间上只有一个非零解
令,
即方程在上只有一解
①当时,,代入方程得到(舍去)
②当时,设
令,得.
③时,设方程的两个根为,则
当时,符合题意,此时
当时,不符合题意,故舍去
综上:实数的取值范围为.
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【题目】在数列中,已知,对于任意的,有.
(1)求数列的通项公式.
(2)若数列满足,求数列的通项公式.
(3)设,是否存在实数,当时,恒成立?若存在,求实数的取值范围;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知圆心C在直线上的圆过两点,.
(1)求圆C的方程;
(2)若直线与圆C相交于A,B两点,①当时,求AB的方程;②在y轴上是否存在定点M,使,若存在,求出M的坐标;若不存在,说明理由.
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【题目】定义:由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”.如果两个椭圆的“特征三角形”是相似的,则称这两个椭圆是“相似椭圆”,并将三角形的相似比称为椭圆的相似比.已知椭圆.
(1)若椭圆,判断与是否相似?如果相似,求出与的相似比;如果不相似,请说明理由;
(2)写出与椭圆相似且焦点在轴上、短半轴长为的椭圆的标准方程;若在椭圆上存在两点、关于直线对称,求实数的取值范围;
(3)如图:直线与两个“相似椭圆”和分别交于点和点,试在椭圆和椭圆上分别作出点和点(非椭圆顶点),使和组成以为相似比的两个相似三角形,写出具体作法.(不必证明)
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【题目】某中学在高二下学期开设四门数学选修课,分别为《数学史选讲》.《球面上的几何》.《对称与群》.《矩阵与变换》.现有甲.乙.丙.丁四位同学从这四门选修课程中选修一门,且这四位同学选修的课程互不相同,下面关于他们选课的一些信息:①甲同学和丙同学均不选《球面上的几何》,也不选《对称与群》:②乙同学不选《对称与群》,也不选《数学史选讲》:③如果甲同学不选《数学史选讲》,那么丁同学就不选《对称与群》.若这些信息都是正确的,则丙同学选修的课程是( )
A. 《数学史选讲》B. 《球面上的几何》C. 《对称与群》D. 《矩阵与变换》
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【题目】已知圆锥的顶点为,底面圆心为,母线长为,,、是底面半径,且:,为线段的中点,为线段的中点,如图所示:
(1)求圆锥的表面积;
(2)求异面直线和所成的角的大小,并求、两点在圆锥侧面上的最短距离.
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【题目】已知数列{an}的首项, , .
(1)求证:数列为等比数列;
(2)记,若Sn<100,求最大正整数n;
(3)是否存在互不相等的正整数m,s,n,使m,s,n成等差数列,且am-1,as-1,an-1成等比数列?如果存在,请给以证明;如果不存在,请说明理由.
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【题目】将函数的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的倍(横坐标不变),再向左平移个单位长度,得到函数的图象,设函数.
(1)对函数的解析式;
(2)若对任意,不等式恒成立,求的最小值;
(3)若在内有两个不同的解,,求的值(用含的式子表示).
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