Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c图象上一点M（1，m）处的切线方程为y-2=0，其中a，b，c为常数．
（1）当a＞-3时，求函数f（x）的单调减区间（用a表示）．
（2）若x=1不是函数f（x）的极值点，求证：函数f（x）的图象关于点M对称．

Answer 1

分析：（1）已知易得点M（1，m）在切线上，得到m=2，且切线斜率为0，列出相应的等式，利用导数研究函数的单调区间的步骤求解．
（2）根据已知可以得出a，b，c的值，也就得到f（x），若证明f（x）的图象关于点M对称，只需证明f（x）的图象上的任意一点P（x₀，y₀），关于点M的对称点Q（2-x₀，4-y₀）也在图象上即可．

解答：解：（1）f（x）=x³+ax²+bx+c，f'（x）=3x²+2ax+b，
由题意，知m=2，f（1）=1+a+b+c=2，f'（1）=3+2a+b=0，
即b=-2a-3，c=a+4．
f′(x)=3x2+2ax-(2a+3)=3(x-1)(x+1+

2a

3

).
当a＞-3时，-1-

2a

3

＜1，有

∴当a＞-3时，函数f（x）的单调减区间为[-1-

2a

3

，1].
（2）由（1）知：若x=1不是函数f（x）的极值点，则-1-

2a

3

=1，
解出a=-3，b=3，c=1，f（x）=x³-3x²+3x+1=（x-1）³+2．
设点P（x₀，y₀）是函数f（x）的图象上任意一点，则y₀=f（x₀）=（x₀-1）³+2，点P（x₀，y₀）关于点M（1，2）的对称点为Q（2-x₀，4-y₀），
∵f（2-x₀）=（2-x₀-1）³+2=-（x₀-1）³+2=2-y₀+2=4-y₀，
∴点Q（2-x₀，4-y₀）在函数f（x）的图象上．由点P的任意性知函数f（x）的图象关于点M对称．

点评：本题考查导数的几何意义，利用导数求解函数的单调区间及证明函数图象关于点对称的方法，本题较好，是教学中的重点和难点，同学们应熟练掌握其方法步骤．