Question

我县有甲，乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同．甲家每张球台每小时5元；乙家按月计费，一个月中30小时以内（含30小时）每张球台90元，超过30小时的部分每张球台每小时2元．小张准备下个月从这两家中的一家租一张球台开展活动，其活动时间不少于15小时，也不超过40小时．
（1）设在甲家租一张球台开展活动x小时的收费为f（x）元（15≤x≤40），在乙家租一张球台开展活动x小时的收费为g（x）元（15≤x≤40）．试求f（x）和g（x）；
（2）问：小张选择哪家比较合算？为什么？

Answer 1

【答案】分析：（1）因为甲家每张球台每小时5元，故收费为f（x）与x成正比例即得：f（x）=5x，再利用分段函数的表达式的求法即可求得g（x）的表达式．
（2）欲想知道小张选择哪家比较合算，关键是看那一家收费低，故只要比较f（x） 与g（x）的函数的大小即可．最后选择费用低的一家即可．
解答：解：（1）f（x）=5x，（15≤x≤40）（3分）
（6分）
（2）由f（x）=g（x）得或
即x=18或x=10（舍）
当15≤x＜18时，f（x）-g（x）=5x-90＜0，
∴f（x）＜g（x）即选甲家
当x=18时，f（x）=g（x）即选甲家也可以选乙家
当18＜x≤30时，f（x）-g（x）=5x-90＞0，
∴f（x）＞g（x）即选乙家．（8分）
当30＜x≤40时，f（x）-g（x）=5x-（2x+30）=3x-30＞0，
∴f（x）＞g（x）即选乙家．（10分）
综上所述：当15≤x＜18时，选甲家；
当x=18时，选甲家也可以选乙家；
当18＜x≤40时，选乙家．（12分）
点评：解决实际问题通常有四个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果；（4）转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型．分段函数解题策略：分段函数模型的构造中，自变量取值的分界是关键点，只有合理的分类，正确的求解才能成功地解题．但分类时要做到不重不漏．