Question

过抛物线y²=2px焦点F的直线交抛物线于A，B两点，过B点作其准线的垂线，垂足为D，设O为坐标原点，问，是否存在实数向量

AO

=λ

OD

．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：计算题,圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：由抛物线方程得其焦点坐标和准线方程，按斜率存在和不存在讨论，由直线方程和抛物线方程组成方程组，研究A、D两点坐标关系，求出和的坐标，从而判断λ是否存在．

解答： 解　假设存在实数λλ，使

AO

=λ

OD

；λ．抛物线方程为y²=2px，
则F（

p

2

，0）F准线ll：xx=-

p

2

，
（1）当直线ABAB的斜率不存在，即ABAB⊥xx轴时，
交点A（

p

2

，p）A、B（

p

2

，-p），D（-

p

2

，-p）；
B
∴

AO

=（-

p

2

，-p），

OD

=（-

p

2

，-p），
∴存在λλ=1，使

AO

=λ

OD

；
（2）当直线ABAB的斜率存在时，
设直线ABAB的方程为yy=k（x-

p

2

）k （kk≠0），
设AA（xx₁，yy₁），BB（xx₂，yy₂），则DD（-

p

2

，yy₂），xx₁=

y1

k

+

p

2

，xx₂=

y2

k

+

p

2

，
联立方程消x得kyky²-2pypy-kpkp²=0，
∴yy₁yy₂=-pp²，∴yy₂=

-p2

y1

，
则

AO

=（-xx₁，-yy₁）=（-（

y1

k

+

p

2

），-yy₁）；

OD

=（-

p

2

，yy₂）=（-

p

2

，

-p2

y1

）；
假设存在实数λλ，使

AO

=λ

OD

；
则-（

y1

k

+

p

2

）=-λ

p

2

，-yy₁=λ

-p2

y1

，
化简得，kλ-2

λ

-k=0；
△=4+4k²＞0，
故λ一定存在；
综上所述，存在实数λ，使向量

AO

=λ

OD

．

点评：本题是一道探索存在性问题，应先假设存在，设出A、B两点坐标，从而得到D点坐标，再设出直线AB的方程，利用方程组和向量条件求出λ，属于中档题．