试题分析:(1)利用求导的基本思路求解,注意导数的四则运算;(2)利用转化思想将问题转化为
总成立,只需
时
.借助求导,研究
的性质,通过对参数k的讨论和单调性的分析探求实数
的取值范围;⑶通过构造函数和等价转化思想,将问题转化为
,要使
在
上恒成立,只需
.然后利用求导研究函数的最大值,进而证明结论.
试题解析::(1) 由于
,
所以
. (2分)
当
,即
时,
;
当
,即
时,
.
所以
的单调递增区间为
,
单调递减区间为
. (4分)
(2) 令
,要使
总成立,只需
时
.
对
求导得
,
令
,则
,(
)
所以
在
上为增函数,所以
. (6分)
对
分类讨论:
① 当
时,
恒成立,所以
在
上为增函数,所以
,即
恒成立;
② 当
时,
在上有实根
,因为
在
上为增函数,所以当
时,
,所以
,不符合题意;
③ 当
时,
恒成立,所以
在
上为减函数,则
,不符合题意.
综合①②③可得,所求的实数
的取值范围是
. (9分)
(3) 存在正实数
使得当
时,不等式
恒成立.
理由如下:令
,要使
在
上恒成立,只需
. (10分)
因为
,且
,
,所以存在正实数
,使得
,
当
时,
,
在
上单调递减,即当
时,
,所以只需
均满足:当
时,
恒成立. (12分)
注:因为
,
,所以