Question

已知函数f(x)=1-

2

2x+1

，
（1）证明函数f（x）的奇偶性；
（2）利用函数单调性的定义证明：f（x）是其定义域上的增函数．

Answer 1

分析：（1）已知函数f(x)=1-

2

2x+1

，根据奇函数和偶函数的性质，判断f（-x）与f（x）的关系，从而进行判断；
（2）从R上任取x₁、x₂，设x₁＜x₂，则△x=x₂-x₁，再判断f（x₁）-f（x₂）与0的关系，用定义法进行证明；

解答：解：（1）∵2^x+1≠0，
∴f（x）的定义域为R，关于原点对称．       …（2分）
又∵f(-x)=1-

2

2-x+1

=1-

2.2x

1+2x

=

1-2x

2x+1

=-1+

2

2x+1

=-f(x)
∴f（x）为奇函数
（2）∵f(x)=1-

2

2x+1

从R上任取x₁、x₂，设x₁＜x₂，
则△x=x₂-x₁…．（6分）
则△y=f(x1)-f(x2)=(1-

2

2x1+1

)-(1-

2

2x2+1

)=2(

1

2x2+1

-

1

2x1+1

)=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

…（10分）
∵x1＜x2∴2x1＜2x2，
∴2x1-2x2＜0，又2x1+1＞0，2x2+1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂）…（11分）
∴f（x）在其定义域R上是增函数                                    …（12分）

点评：此题主要考查奇函数的性质及其应用，以及用定义法证明函数的单调性，此题是一道基础题；