Question

在数列{a_n}中，a₁+a₂+a₃+…+a_n=n-a_n（n∈N^*）．
（1）求a₁，a₂，a₃的值；
（2）求证：数列{a_n-1}是等比数列；
（3）设b_n=a_n-1，且c_n=b_n（n-n²）（n∈N^*），如果对任意n∈N^*，都有c_n+

1

4

t≤t²，求实数t的取值范围．

Answer 1

考点：等比数列的性质,等比关系的确定

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：（1）利用数列{a_n}中，a₁+a₂+a₃+…+a_n=n-a_n，代入计算，可求a₁，a₂，a₃的值；
（2）由a₁+a₂+a₃+…+a_n=n-a_n，得a₁+a₂+a₃+…+a_n+a_n+1=n+1-a_n+1，二者作差得2a_n+1-a_n=1，由此能证明数列{a_n-1}是等比数列．
（3）由（2）知a_n=1-2^-n，从而得到c_n=b_n（n-n²）=（n²-n）•2^-n，由当n≥3时，c_n+1-c_n=

1

2n+1

•(3n-n2)
，得到对任意n∈N^*，都有c_n+

1

4

t≤t²，则t²-

1

4

t≥max{c_n}=

3

4

，由此能求出t的取值范围．

解答： 解：（1）由题意可知：当n=1时，a₁=1-a₁，解得：a₁=

1

2

，
同理可得：当n=2时，a₁+a₂=2-a₂，解得：a₂=

3

4

，
当n=3时，a₁+a₂+a₃=3-a₃，解得：a₃=

7

8

；
（2）由题意可得：a₁+a₂+a₃+…+a_n=n-a_n，①
∴a₁+a₂+a₃+…+a_n+a_n+1=n+1-a_n+1，②
②-①，得2a_n+1-a_n=1，
∴a_n+1-1=

1

2

（a_n-1）
又a₁=

1

2

，∴a₁-1=-

1

2

，
∴数列{a_n-1}是以-

1

2

为首项，以

1

2

为公比的等比数列．
（3）由（2）可知数列{a_n-1}是以-

1

2

为首项，以

1

2

为公比的等比数列，则a_n-1=-

1

2

•(

1

2

)n-1
解得：a_n=1-2^-n，故c_n=b_n（n-n²）=（n²-n）•2^-n
显然c₁=0，当n≥2时，c_n＞0，
则当n≥3时，c_n+1-c_n=

1

2n+1

•(3n-n2)
由此可得：c₃-c₂＞0，即c₂＜c₃=c₄
当n≤4时，数列{c_n}为单递减数列，则c₃=c₄=max{c_n}
因此对任意n∈N^*，都有c_n+

1

4

t≤t²，则t²-

1

4

t≥max{c_n}=

3

4

解得：t≥1或t≤-

3

4

．

点评：本题考查等比数列的证明，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意构造法和等价转化思想的合理运用．