Question

为了解某校学生数学竞赛的成绩分布，从该校参加数学竞赛的学生成绩中抽取一个样本，并分成5组，绘成频率分布直方图如图，从左到右各小组的小长方形的高之比为1：2：2：20：5，最右边一组的频数是20，请结合直方图的信息，解答下列问题；
（Ⅰ）样本容量是多少？
（Ⅱ）现用分层抽样的方法在该样本中抽取30个学生的成绩作进一步调查，问成绩在120分到150分的学生有几个？
（Ⅲ）已知成绩在120分到150分的学生中，至少有5个是男生，求成绩在120分到150分的学生中，男生比女生多的概率．

Answer 1

分析：（I）利用频率分布直方图中，小矩形的高之比=面积之比=频率之比，而

频数

样本容量

=频率，代入数据计算可求；
（II）根据频率之比，可求成绩在120分到150分的学生数，算出分层抽样的抽取比例，乘以抽取人数，可得应从成绩在120分到150分的学生中抽取的人数；
（III）用列举法求出基本事件数和男生比女生多的基本事件数，代入古典概型概率公式计算．

解答：解：（Ⅰ）设样本容量为n，由题意得

n

1+2+2+20+5

=

20

5

，所以n=120
所以样本的容量为120；
（Ⅱ）由小长方形的高之比为1：2：2：20：5，得小长方体的面积之比（频率之比）为1：2：2：20：5，
∴成绩在120分到150分的学生有

20

30

×120=80，则分层抽样抽取的比例

80

120

，
∴抽取30个学生应从成绩在120分到150分的学生中抽取

80

120

×30=20人；
（Ⅲ）设成绩在120分到150分的学生中，男生比女生多的事件记为A，男生数与女生数记为数对（x，y），
则基本事件有：（5，15），（6，14），（7，13），（8，12），（9，11），（10，10），（11，9），
（12，8），（13，7），（14，6），（15，5），（16，4），（17，3），（18，2），（19，1），（20，0）共16对，
而事件A包含的事件有：（11，9），（12，8），（13，7），（14，6），（15，5），
（16，4），（17，3），（18，2），（19，1），（20，0）共10对．
∴P(A)=

10

16

=

5

8

．

点评：本题考查了分层抽样方法，频率分布直方图，考查了古典概型的概率计算，列举法求基本事件个数是求古典概型概率的基本方法．