Question

选修4-5：不等式选讲：
（1）已知f（x）=|x-a|，若不等式f（x）≤2解集为{x|-1≤x≤3}，求a的值；
（2）若log₂（|x-a|+|x-3|）≥2恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据不等式解集的端点与方程根之间的关系，我们可得-1和3为方程f（x）=2的两根，进而根据绝对值的定义，可得a的值；
（2）根据对数函数的性质，可将已知转化为|x-a|+|x-3|≥4恒成立，利用绝对值的性质可得|a-3|≥4，进而根据“大于看两边，小于看中间”，可得a的取值范围

解答：解：（1）∵不等式f（x）≤2解集为{x|-1≤x≤3}，
∴-1和3为方程f（x）=2的两根
即|-1-a|=|3-a|=2
解得：a=1
（2）若log₂（|x-a|+|x-3|）≥2恒成立，
∴|x-a|+|x-3|≥4恒成立，
又∵|x-a|+|x-3|≥|（x-a）-（x-3）|=|a-3|
∴|a-3|≥4，
∴a-3≥4或a-3≤-4
解得a≥7或a≤-1

点评：本题考查的知识点是函数恒成立问题，绝对值不等式的解法，其中熟练掌握函数零点，方程根与不等式解集端点之间的关系及绝对值的性质是解答本题的关键．