Question

15．设数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=2a_n+1
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）记b_n=log₂（a_n+1），求数列{b_n•a_n}的前n项和为S_n．

Answer 1

分析 （1）通过对a_n+1=2a_n+1变形可得（a_n+1+1）=2（a_n+1），进而可得{a_n+1}是以2为公比、2为首项的等比数列，计算即得结论；
（2）通过${a_n}={2^n}-1$，可得b_n•a_n=n•2ⁿ-n，记A=1×2¹+2×2²+…+n•2ⁿ，利用错位相减法计算A-2A的值，进而计算可得结论．

解答 解：（1）∵a_n+1=2a_n+1，
∴（a_n+1+1）=2（a_n+1）
∵a₁+1=2≠0，∴a_n+1≠0，
∴$\frac{{{a_{n+1}}+1}}{{{a_n}+1}}=2$，
∴{a_n+1}是以2为公比、2为首项的等比数列，
∴${a_n}+1={2^n}$，
∴${a_n}={2^n}-1$；
（2）∵${a_n}={2^n}-1$，
∴${b_n}={log_2}（{a_n}+1）={log_2}{2^n}=n$，
∴${b_n}•{a_n}=n•（{2^n}-1）=n•{2^n}-n$，
记A=1×2¹+2×2²+…+n•2ⁿ，
∴2A=1×2²+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
∴-A=A-2A
=2+2²+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$-n•2ⁿ⁺¹
=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2，
∴A=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2，
故${S_n}=A-（1+2+…+n）=（n-1）•{2^{n+1}}+2-\frac{n（n+1）}{2}$．

点评 本题考查求数列的通项及求和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．