Question

17．已知△ABC三边a，b，c上的高分别为$\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}，1$，则cosA=$-\frac{{\sqrt{2}}}{4}$．

Answer 1

分析 由题意和三角形的面积公式列出方程，化简后得到a、b、c的关系，由余弦定理求出cosA的值．

解答 解：∵△ABC三边a，b，c上的高分别为$\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}，1$，
∴$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×a=\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}×b=\frac{1}{2}×1×c$，
则$a=\sqrt{2}b=2c$，即c=$\frac{1}{2}$a，b=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，
由余弦定理得，cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$
=$\frac{\frac{1}{2}{a}^{2}+\frac{1}{4}{a}^{2}-{a}^{2}}{2×\frac{\sqrt{2}}{2}a×\frac{1}{2}a}$=$-\frac{{\sqrt{2}}}{4}$，
故答案为：$-\frac{{\sqrt{2}}}{4}$．

点评 本题考查余弦定理，以及三角形的面积公式的应用，考查化简、变形能力．