Question

19．讨论函数f（x）=x+$\frac{1}{x}$在定义域上的单调性．

Answer 1

分析 首先确定函数的定义域，然后利用函数的定义证明单调性即可．证明过程分4步：取值，作差变形，判断符号，结论．

解答 解：函数的定义域为{x|x≠0}．
f（x₁）-f（x₂）=（x₁+$\frac{1}{{x}_{1}}$）-（x₂+$\frac{1}{{x}_{2}}$）
=（x₁-x₂）+（$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{{x}_{2}}$）
=（x₁-x₂）+$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{{x}_{1}*{x}_{2}}$
=（x₁-x₂）-$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{{x}_{1}*{x}_{2}}$
=（x₁-x₂）（$1-\frac{1}{{x}_{1}*{x}_{2}}$）
=（x₁-x₂） $\frac{{x}_{1*}{x}_{2}-1}{{x}_{1}*{x}_{2}}$
 （1）?x₁，x₂∈（-∞，-1），且 x₁＜x₂
∵x₁＜x₂＜-1∴x₁-x₂＜0，x₁*x₂＞1   
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）
∴函数f（x）=$x+\frac{1}{x}$ 在（-∞，-1）上是增函数．
 （2）?x₁，x₂∈（-1，0），且x₁＜x₂
∵-1＜x₁＜x₂＜0∴x₁-x₂＜0，0＜x₁*x₂＜1，
∴x₁*x₂-1＜0
∴f（x₁）-f（x₂）＞0  即f（x₁）＞f（x₂）
∴函数f（x）=$x+\frac{1}{x}$ 在（-1，0）上是减函数．
  （3）?x₁，x₂∈（0，1），且x₁＜x₂．
∵0＜x₁＜x₂＜1，∴x₁-x₂＜0，0＜x₁*x₂＜1，
∴x₁*x₂-1＜0，
∴函数f（x）=$x+\frac{1}{x}$在（0，1）上是减函数．
 （4）?x₁，x₂∈（1，+∞），且x₁＜x₂．
∵1＜x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，x₁*x₂＞1，
∴x₁*x₂-1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
∴函数是f（x）=$x+\frac{1}{x}$在（1，+∞）上是增函数．

点评 注意在作差变形的时候要化简到乘积或配方的形式，本题要把定义域分成4部分来讨论．