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    已知数列{an}，如果数列{bn}满足b1＝a1，bn＝an＋an－1，n≥2，n∈N*，则称数列{bn}是数列{an}的“生成数列”．

    (1)若数列{an}的通项为an＝n，写出数列{an}的“生成数列”{bn}的通项公式；

    (2)若数列{cn}的通项为cn＝2n＋b(其中b是常数)，试问数列{cn}的“生成数列”{qn}是否是等差数列，请说明理由；

    (3)已知数列{dn}的通项为dn＝2n＋n，求数列{dn}的“生成数列”{pn}的前n项和Tn.

     

    【答案】

    (1) bn＝2n－1(n∈N*)

    (2) 当b＝0时，{qn}是等差数列；

    当b≠0时，{qn}不是等差数列．

    (3) pn＝，Tn＝3·2n＋n2－4

    【解析】解：(1)当n≥2时，bn＝an＋an－1＝2n－1，

    当n＝1时，b1＝a1＝1适合上式，

    ∴bn＝2n－1(n∈N*)．

    (2)qn＝

    当b＝0时，qn＝4n－2，由于qn＋1－qn＝4，所以此时数列{cn}的“生成数列”{qn}是等差数列．

    当b≠0时，由于q1＝c1＝2＋b，q2＝6＋2b，q3＝10＋2b，此时q2－q1≠q3－q2，所以数列{cn}的“生成数列”{qn}不是等差数列．

    综上，当b＝0时，{qn}是等差数列；

    当b≠0时，{qn}不是等差数列．

    (3)pn＝

    当n>1时，Tn＝3＋(3·2＋3)＋ (3·22＋5)＋…＋(3·2n－1＋2n－1)，

    ∴Tn＝3＋3(2＋22＋23＋…＋2n－1)＋(3＋5＋7＋…＋2n－1)＝3·2n＋n2－4.

    又n＝1时，T1＝3，适合上式，

    ∴Tn＝3·2n＋n2－4.

     

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