Question

8．某公司2014年9月投资14 400万元购得某种纪念品的专利权及生产设备，生产周期为一年．已知生产每件纪念品还需要材料等其他费用20元．为保证有一定的利润，公司决定该纪念品的销售单价不低于150元，进一步的市场调研还发现：该纪念品销售单价定在150元到250元之间较为合理（含150元及250元）．并且当销售单价定为150元时，预测年销售量为150万件；当销售单价超过150元但不超过200元时，预测每件纪念品的销售价格每增加1元，年销售量将减少1万件；当销售单价超过200元但不超过250元时，预测每件纪念品的销售价格每增加1元，年销售量将减少1.2万件．根据市场调研的结果，设该纪念品的销售单价为x（元），年销售量为u（万件），平均每件纪念品的利润为y（元）．
（1）求年销售量u关于销售单价x的函数关系式；
（2）该公司考虑到消费者的利益，决定销售单价不超过200元，问销售单价x为多少时，平均每件纪念品的利润y最大？

Answer 1

分析 （1）根据题意，建立函数关系，可得分段函数模型；
（2）求出平均每件纪念品的利润函数，利用基本不等式求最值．

解答 解：（1）当150＜x≤200（x∈N^*）时，u（x）=150-（x-150）=300-x，
此时u（200）=100；
当200＜x≤250（x∈N^*）时，u（x）=u（200）-1.2（x-200）=-1.2x+340，
则u（x）=$\left\{\begin{array}{l}{300-x，150＜x≤200}\\{-1.2x+340，200＜x≤250}\end{array}\right.$，其中x∈N^*；
（2）当150＜x≤200（x∈N^*）时，u（x）=300-x，
∴y=x-20-$\frac{14400}{u（x）}$=x-20-$\frac{14400}{300-x}$=-[（300-x）+$\frac{14400}{300-x}$]+280，
∵300-x＞0，∴（300-x）+$\frac{14400}{300-x}$≥240，
当且仅当300-x=$\frac{14400}{300-x}$，即x=180时，等号成立，
∴y≤40，当且仅当x=180时，等号成立，即当x=180时，平均每件纪念品的利润y最大．

点评 本题考查函数的应用问题，根据条件建立函数关系，利用基本不等式求最值，确定函数模型是关键．