【题目】设椭圆:(),左、右焦点分别是、且,以为圆心,3为半径的圆与以为圆心,1为半径的圆相交于椭圆上的点
(1)求椭圆的方程;
(2)设椭圆:,为椭圆上任意一点,过点的直线交椭圆于两点,射线交椭圆于点
①求的值;
②令,求的面积的最大值.
【答案】(1)(2)①②
【解析】
(1)运用圆与圆的位置关系,和的关系,计算即可得到,进而得到椭圆的方程;
(2)求得椭圆的方程,①设,,求得的坐标,分别代入椭圆的方程,化简整理,即可得到所求值;
②设,将直线代入椭圆的方程,运用韦达定理,三角形的面积公式,将直线代入椭圆的方程,由判别式大于0,可得的范围,结合二次函数的最值,,的面积为,即可得到所求的最大值.
解:(1)由题意可知,,可得,
又
,
,
即有椭圆的方程为;
(2)由(1)知椭圆的方程为,
①设,,由题意可知,
,由于,
代入化简可得,
所以,即;
②设,,将直线代入椭圆的方程,可得
,由,可得,③
则有,,
所以,
由直线与轴交于,
则的面积为
设,则,
将直线代入椭圆的方程,
可得,
由可得,④
由③④可得,则在递增,即有取得最大值,
即有,即,取得最大值,
由①知,的面积为,
即面积的最大值为.
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【题目】某校高二理科1班共有50名学生参加学业水平模拟考试,成绩(单位:分,满分100分)大于或等于90分的为优秀,其中语文成绩近似服从正态分布,数学成绩的频率分布直方图如图.
(1)这50名学生中本次考试语文、数学成绩优秀的大约各有多少人?
(2)如果语文和数学两科成绩都优秀的共有4人,从语文优秀或数学优秀的这些同学中随机抽取3人,设3人中两科都优秀的有X人,求X的分布列和数学期望;
(3)根据(1)(2)的数据,是否有99%以上的把握认为语文成绩优秀的同学,数学成绩也优秀?
语文优秀 | 语文不优秀 | 合计 | |
数学优秀 | |||
数学不优秀 | |||
合计 |
附:①若,则,;②;
③
0.1 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | p>0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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【题目】假设国家收购某种农产品的价格是1.2元/kg,其中征税标准为每100元征8元(即税率为8个百分点,8%),计划可收购kg.为了减轻农民负担,决定税率降低个百分点,预计收购可增加个百分点.
(1)写出税收(元)与的函数关系;
(2)要使此项税收在税率调节后不低于原计划的78%,确定的取值范围.
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【题目】已知函数(,)的周期为,图象的一个对称中心为将函数图象上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将所有图象向右平移个单位长度后得到函数的图象.
(1)求函数与的解析式;
(2)当,求实数与正整数,使在恰有2019个零点.
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【题目】已知正方体的棱长为,点E,F,G分别为棱AB,,的中点,下列结论中,正确结论的序号是___________.
①过E,F,G三点作正方体的截面,所得截面为正六边形;
②平面EFG;
③平面;
④异面直线EF与所成角的正切值为;
⑤四面体的体积等于.
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【题目】已知实数,,对于定义在上的函数,有下述命题:
①“是奇函数”的充要条件是“函数的图像关于点对称”;
②“是偶函数”的充要条件是“函数的图像关于直线对称”;
③“是的一个周期”的充要条件是“对任意的,都有”;
④“函数与的图像关于轴对称”的充要条件是“”
其中正确命题的序号是( )
A.①②B.②③C.①④D.③④
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【题目】在新冠肺炎疫情的影响下,南充高中响应“停课不停教,停课不停学”的号召进行线上教学,高二年级的甲乙两个班中,需根据某次数学测试成绩选出某班的5名学生参加数学竞赛决赛,已知这次测试他们取得的成绩的茎叶图如图所示,其中甲班5名学生成绩的平均分是83,乙班5名学生成绩的中位数是86.
(1)求出x,y的值,且分别求甲乙两个班中5名学生成绩的方差,并根据结
果,你认为应该选派哪一个班的学生参加决赛?
(2)从成绩在85分及以上的学生中随机抽取2名.求至少有1名来自甲班的概率.
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