Question

14．如图，棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，BD=$2\sqrt{2}$．求二面角P-CD-B余弦值的大小．

Answer 1

分析 由线面垂直的性质可得PA⊥CD，再由已知得到CD⊥AD，由线面垂直的判定可得CD⊥平面PAD，进一步得到PD⊥CD．得到∠PDA为二面角P-CD-B的平面角，再由已知得答案．

解答 解：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，
∵底面ABCD是矩形，∴CD⊥AD，
∵又PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD，
则PD⊥CD．
∴∠PDA为二面角P-CD-B的平面角，
在Rt△PAD中，由PA=AD=2，可得∠PDA=45°．
∴二面角P-CD-B余弦值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查二面角的平面角的求法，考查线面垂直的判定，是基础题．