Question

16．设函数f（x）=ka^x-a^-x（a＞0且a≠1）是定义域为R上的奇函数，且f（1）=$\frac{3}{2}$．
（1）求k与a的值；
（2）若关于x的不等式f（x）-2m+m•（4^x+4^-x）≤2在x∈[1，2]上恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由f（x）为R上的奇函数可得f（0）=0，解得k值，由f（1）=$\frac{3}{2}$可求得a值；
（2）令t=2^x-2^-x（1≤x≤2），由此不等式化为t-mt²≤2，分离参数求最大值，即可求实数m的取值范围．

解答 解：（1）∵f（x）=ka^x-a^-x是定义域为R上的奇函数，
∴f（0）=0，得k=1．
此时，f（x）=a^x-a^-x，f（-x）=a^-x-a^x=-f（x），即f（x）是R上的奇函数．
∵f（1）=$\frac{3}{2}$，∴a-$\frac{1}{a}$=$\frac{3}{2}$，即2a²-3a-2=0，
解得a=2或a=-$\frac{1}{2}$（舍去），
（2）（2^x-2^-x）-2m+m•（4^x+4^-x）≤2
令t=2^x-2^-x（1≤x≤2），
由（1）知t=2^x-2^-x[1，2]上为增函数，∴t∈[$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$]，∴$\frac{1}{t}$∈[$\frac{4}{15}$，$\frac{2}{3}$]．
∴t-mt²≤2
∴m≥-$\frac{2}{{t}^{2}}$+$\frac{1}{t}$
∵-$\frac{2}{{t}^{2}}$+$\frac{1}{t}$=-2（$\frac{1}{t}$-$\frac{1}{4}$）²+$\frac{1}{8}$∈[-$\frac{2}{9}$，$\frac{28}{225}$]
∴m≥$\frac{28}{225}$．

点评 本题是对函数单调性和奇偶性的综合考查．考查恒成立问题，正确分离参数是关键．