Question

如图，抛物线的焦点到准线的距离与椭圆的长半轴相等，设椭圆的右顶点为A，C₁，C₂在第一象限的交点为B，O为坐标原点，且△OAB的面积为
（1）求椭圆C₂的标准方程；
（2）过点A作直线l交C₁于C，D两点，射线OC，OD分别交C₂于E，F两点．
（I）求证：O点在以EF为直径的圆的内部；
（II）记△OEF，△OCD的面积分别为S₁，S₂，问是否存在直线l，使得S₂=3S₁？请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）p=2，得椭圆的长半轴a=2，由，知．代入抛物线能求出椭圆C₂方程．
（2）（I）设直线l的方程为：x=my+2，由，得y²-4my-8=0，利用韦达定理和向量的数量积导出∠COD＞90°，由此能证明O点在以EF为直径的圆的内部．
（II），直线OC的斜率为，故直线OC的方程为．由此能推导出不存在直线l使得S₂=3S₁
解答：解：（1）p=2，得椭圆的长半轴a=2，
∵，
∴．
代入抛物线求得，
∴椭圆C₂方程为．
（2）（I）设直线l的方程为：x=my+2，
由，得y²-4my-8=0，
设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
∴y₁+y₂=4m，y₁y₂=-8，
∴x₁x₂=4，
∴，
∴∠COD＞90°，
又∵∠EOF=∠COD，
∴∠EOF＞90°，
∴O点在以EF为直径的圆的内部．
（II），
直线OC的斜率为，
∴直线OC的方程为．
由，
得，
∴，
∴，
∵m∈R，∴，
∴不存在直线l使得S₂=3S₁．
点评：本题考查椭圆方程的求法，考查点在圆的内部的证明，探索满足条件的直线方程是否存在．综合性强，难度大，对数学思维的要求较高．解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理合理运用．