Question

【题目】已知抛物线E：的焦点为F，过点F的直线l与E交于A，C两点

（1）分别过A，C两点作抛物线E的切线，求证：抛物线E在A、C两点处的切线互相垂直；

（2）过点F作直线l的垂线与抛物线E交于B，D两点，求四边形ABCD的面积的最小值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）32

【解析】

（1）设出直线l的方程与抛物线联立，利用韦达定理及导数求得斜率相乘为﹣1即可；

（2）用弦长公式求出弦长|AC|和|BD|，再算出面积后，用基本不等式求最值．

（1）证明：设过点F（0，1）的直线方程为：y＝kx+1，

由，得x2﹣4kx﹣4＝0，

设A（x1，y1），C（x2，y2），

则，

∵yx2，∴y′x，

设抛物线E在点A、C两点处的切线的斜率分别为k1，k2，

则k1k2x1x2x1x2＝﹣1，

故抛物线E在A，C两点处的切线互相垂直．

（2）由（1）知|AC|4（k2+1）

同理|BD|＝4（1）

∴S四边形ABCD|AC||BD|＝8（k2+1）（1）

＝8（1+k21）

≥8（2+2）

＝32，

∴四边形ABCD的面积的最小值为32．