Question

【题目】设集合A2n={1，2，3，…，2n}（n∈N* ， n≥2）．如果对于A2n的每一个含有m（m≥4）个元素的子集P，P中必有4个元素的和等于4n+1，称正整数m为集合A2n的一个“相关数”． （Ⅰ）当n=3时，判断5和6是否为集合A6的“相关数”，说明理由；
（Ⅱ）若m为集合A2n的“相关数”，证明：m﹣n﹣3≥0；
（Ⅲ）给定正整数n．求集合A2n的“相关数”m的最小值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）当n=3时，A6={1，2，3，4，5，6}，4n+1=13，

①对于A6的含有5个元素的子集{2，3，4，5，6}，

因为2+3+4+5＞13，

所以5不是集合A6的“相关数”；

②A6的含有6个元素的子集只有{1，2，3，4，5，6}，

因为1+3+4+5=13，

所以6是集合A6的“相关数”．

（Ⅱ）考察集合A2n的含有n+2个元素的子集B={n﹣1，n，n+1，…，2n}，

B中任意4个元素之和一定不小于（n﹣1）+n+（n+1）+（n+2）=4n+2．

所以n+2一定不是集合A2n的“相关数”；

所以当m≤n+2时，m一定不是集合A2n的“相关数”，

因此若m为集合A2n的“相关数”，必有m≥n+3，

即若m为集合A2n的“相关数”，必有m﹣n﹣3≥0；

（Ⅲ）由（Ⅱ）得 m≥n+3，

先将集合A2n的元素分成如下n组：

Ci=（i，2n+1﹣i），（1≤n），

对A2n的任意一个含有n+3个元素的子集p，

必有三组 ， ， 同属于集合P，

再将集合A2n的元素剔除n和2n后，分成如下n﹣1组：

Dj=（j，2n﹣j），（1≤j≤n﹣1），

对于A2n的任意一个含有n+3个元素的子集P，必有一组 属于集合P，

这一组 与上述三组 ， ， 中至少一组无相同元素，

不妨设 与 无相同元素．

此时这4个元素之和为[i1+（2n+1﹣i1）+（2n﹣j4）]=4n+1，

所以集合A2n的“相关数”m的最小值为n+3

【解析】（Ⅰ）根据相关数的定义判断即可；（Ⅱ）根据相关数的定义得到m≤n+2时，m一定不是集合A2n的“相关数”，得到m≥n+3，从而证明结论；（Ⅲ）根据m≥n+3，将集合A2n的元素分成n组，对A2n的任意一个含有n+3个元素的子集p，必有三组 ， ， 同属于集合P，不妨设 与 无相同元素，此时这4个元素之和为[i1+（2n+1﹣i1）+（2n﹣j4）]=4n+1，从而求出m的最小值．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用函数的最值及其几何意义的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；利用图象求函数的最大（小）值；利用函数单调性的判断函数的最大（小）值．