Question

1．若实数x，y满足不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x≥k}\\{x-2y+4≥0}\\{2x-y-4≤0}\end{array}\right.$，若z=2x+y的最小值为8，则y-x的取值范围为[-1，$\frac{1}{2}$]．

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，根据z的几何意义，利用数形结合即可得到k的值．然后求解y-x的取值范围即可．

解答 解：不等式组对应的平面区域如图：
由z=2x+y得y=-2x+z，
平移直线y=-2x+z，则由图象可知当直线y=-2x+z经过点A时，直线y=-2x+z的截距最小，
此时z最小，为2x+y=8
由$\left\{\begin{array}{l}{2x+y=8}\\{2x-y-4=0}\end{array}\right.$，解得A（3，2），
此时A在x=k上，
则k=3．
t=y-x经过可行域A，B时，分别取得最值，由：$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{x-2y+4=0}\end{array}\right.$，解得B（3，$\frac{7}{2}$）
可得y-x的取值范围[2-3，$\frac{7}{2}-3$]，即[-1，$\frac{1}{2}$]
故答案为：[-1，$\frac{1}{2}$]．

点评 本题主要考查线性规划的应用，根据z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．